ブログの教材で学ぶＭＡＴＨ(１)
【%M0】:「ブログの教材で学ぶＭＡＴＨ（□）」/*〔一括表示〕*/
《The top of this file》*******************************************
《The top of this list》*******************************************
%M1:自然数の加減算(減加法)
%M2:命題論理(背理法)
%M3:簡易乗算法(乗数が１桁の乗算)
%M4:分数の四則演算(交換・結合・分配)
%M5:正多面体(ユークリッド空間)
%M6:順列と組み合わせ(確率)
%M7:二次方程式(複素数・三角関数)
%M8:方程式と不等式(∀と∃・半順序)
%M9:帰納と演繹(数学的帰納法・原始関数)
%M10:(高校で学んだ数学の復習と進展)
%M11:行列と行列式
%M12:微分方程式(差分方程式・解析接続)
%M13:述語論理(不完全性定理・二階述語論理)
*****************************************《The bottom of this list》
【%M13】:「ブログの教材で学ぶＭＡＴＨ（１３）」/*〔述語論理〕*/
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⑬:参考資料
⑬.1:「https://ja.wikipedia.org/wiki/述語論理」
:「https://ja.wikipedia.org/wiki/一階述語論理」
:「https://ja.wikipedia.org/wiki/二階述語論理」
・:一階述語論理自体も命題論理を拡張したものである。
・:二階述語論理もさらに高階述語論理や型理論に拡張される。
⑬.2:「https://ja.wikipedia.org/wiki/ゲーデルの不完全性定理」からの引用
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不完全性定理とは、数学基礎論[1]とコンピュータ科学（計算機科学）の重要な基本定理。
（数学基礎論は数理論理学や超数学とほぼ同義な分野で、コンピュータ科学と密接に関連。
不完全性定理は厳密には「数学」そのものについての定理ではなく、
「形式化された数学」についての定理である。
クルト・ゲーデルが1931年の論文で証明した定理であり、
有限の立場（英語版）（形式主義）では自然数論の無矛盾性の証明が成立しないこと示す。
なお、少し拡張された有限の立場では、自然数論の無矛盾性の証明が成立する
（ゲンツェンの無矛盾性証明（英語版））。
数学基礎論研究者の菊池誠によると不完全性定理は、
20世紀初め以降に哲学から決別した数学基礎論の中で現れた。
コンピュータ科学者・数理論理学者のトルケル・フランセーンおよび
数学者・数理論理学者の田中一之によると、
不完全性定理が示した不完全性とは、
数学用語の意味での「特定の形式体系Pにおいて決定不能な命題の存在」であり、
一般的な意味での「不完全性」とは無関係である[8]。不完全性定理を踏まえても、
数学の形式体系の公理は真であり無矛盾であるし、数学の完全性も成立し続けている。
しかし“不完全性定理は数学や理論の「不完全性」を証明した”といった誤解や、
“数学には「不完全」な部分があると証明済みであり、
数学以外の分野に「不完全」な部分があってもおかしくない”といった誤解が
一般社会・哲学・宗教・神学等によって広まり、誤用されている]。・
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`▲「ブログの教材で学ぶＭＡＴＨ（□）」を終了します。
【%M12】:「ブログの教材で学ぶＭＡＴＨ（１２）」/*〔微分方程式〕*/
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⑫:参考資料
⑫⑪.1:「https://ja.wikipedia.org/wiki/常微分方程式」
⑪⑫.2:「https://ja.wikipedia.org/wiki/偏微分方程式」
⑫⑪.3:「https://ja.wikipedia.org/wiki/差分法」
⑫⑪.4:「https://ja.wikipedia.org/wiki/Z変換」
⑫⑪.5:「https://ja.wikipedia.org/wiki/https://ja.wikipedia.org/wiki/オイラー法」
:オイラー法（オイラーほう、英: Euler method）とは、
:常微分方程式の数値解法の一つである。
・:この方法は、数学的に理解しやすく、プログラム的にも簡単なので、
:数値解析の初歩的な学習問題としてよく取りあげられる。
⑫⑪.6:「https://ja.wikipedia.org/wiki/漸化式」
:ある種の漸化式はしばしば差分方程式 (difference equation) と呼ばれる。
:「差分方程式」という言葉を単に「漸化式」と同義なものとして扱うことも多い。
⑫.7:「https://ja.wikipedia.org/wiki/解析接続」
:ここでは、有理型関数の解析接続を定義する
:正則関数に限って定義することもあるが、
:有理型関数は、分母分子ともに正則関数である分数で表されるような関数なので、
:有理型関数の解析接続の定義は、正則関数の解析接続の定義も含んでいる。
:正則関数で定義する場合はローラン級数の代わりに、 テイラー級数を用いる。
⑫⑪.8:「https://ja.wikipedia.org/wiki/リーマン面」
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`▲「⑫.7-8」は単なる参考。/*〔高校生は無視してください〕 */
【%M11】:「ブログの教材で学ぶＭＡＴＨ（１１）」/*〔行列と行列式〕*/
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⑪:以下の記号を【暫定的に】定義する。
⑪.1:３次元ユークリッド空間「E^(3)」内の座標が「(x,y,z)」である点に対して、
:点「(x,0,0)」を通る単位ベクトルを「e[1]」と略記する。
:点「(0,y,0)」を通る単位ベクトルを「e[2]」と略記する。
:点「(0,0,z)」を通る単位ベクトルを「e[3]」と略記する。
・:「x」「y」「z」を互いに異なる実数と考えてください。
:実数の「スカラー倍☆」しか考えません。
☆:「https://ja.wikipedia.org/wiki/スカラー (数学)」
⑪.2:「⑪.1」の「e[k]」(k{1,2,3})を「列ベクトル」と略称する。
⑪.3:「⑪.2」の「列ベクトル」の転置を「行ベクトル」と略称する。
⑪.4:「⑪.3」の「行ベクトル」は「列ベクトル」と「双対な空間☆」を形成する。
☆:「https://ja.wikipedia.org/wiki/双対ベクトル空間」
⑪.5:「行列☆」を単に『行列「A」』のように表記して参照する。
☆:「https://ja.wikipedia.org/wiki/行列」
⑪.6:『行列「A」の行列式☆』を『｜A｜』のように略記する。
☆:「https://ja.wikipedia.org/wiki/行列式」
⑪.7:行列「A」の「「i」行「k」列要素」を「A[i,k]」と略記する。
・:「i」行「k」列要素」が「δ(i,1)*δ(k,0」である行列を行列「A」に
:右から掛けると「A」の【'i'列目の】「列ベクトル」を抽出できる。
:┌┬┬┬┐ ┌┬┬┬┐ ┌┬┬┬┐
:├１００┤ ├０００┤ ├０００┤
:├０００┤ ├０１０┤ ├０００┤
:├０００┤ ├０００┤ ├００１┤
:└┴┴┴┘ └┴┴┴┘ └┴┴┴┘
・:左から掛けると「A」の「行ベクトル」を抽出できる。
⑪.8:行列「A」に対して積「AB」＝「E_(3)」となる行列「B」を
:「A」の「逆行列」と称し、「A^(-1)」で表示する。
:「⑪.7」の「３次の列ベクトル」と「⑪.8」の「単位行列」の積は
:元の「３次の列ベクトル」に等しい。
⑪.9:『行列「A」の「行列式☆』を『｜A｜』のように略記する。
☆:「https://ja.wikipedia.org/wiki/行列式」
・:「A[1,1]」＝「a」,「A[1,2]」＝「b」
・:「A[2,1]」＝「c」,「A[2,2]」＝「d」
・:である行列「A」の場合、｜A｜＝「a * d - b * c」＝「α」と置くと、
:「A^(-1)」＝「B」は
・:「B[1,1]」＝「d/α」,「B[1,2]」＝「-b/α」
・:「B[2,1]」＝「-c/α」「b[2,2]」＝「a/α」
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`▲【%M11/⑪.6】の「https://ja.wikipedia.org/wiki/行列式」は超難解
「b」「d」「-b」＝「a*d-b*c」「-a*b+a*b」
・:「c」「d」「-c」「a」＝「c*d-d*c」「-c*b+d*a」
【%M9】:「ブログの教材で学ぶＭＡＴＨ（９）」/*〔帰納と演繹〕*/
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⑨:参考資料
⑨.1:「https://ja.wikipedia.org/wiki/数学的帰納法」
:例えば自然数に関する命題 P(n) が全ての自然数 n に対して成り立つ事を
:証明するために、
:下記の「１」「２」のような手続きを行う。
１:P(1) が成り立つ事を示す。
２:任意の自然数 k に対して、「P(k) ⇒ P(k + 1)」が成り立つ事を示す。
⑨.2:「https://kotobank.jp/word/原始関数」
:一般に関数 f(x) に対し，F'(x)＝f(x) を満たす関数 F(x) を，
:f(x) の原始関数といい，与えられた関数の原始関数を求めることを
:積分するという。
⑨.3:「https://ja.wikipedia.org/wiki/積分法」
:「⑨.2」の「 F(x)」を使って「定積分☆」を計算できる。
☆:「https://kotobank.jp/word/原始関数-60564」
・:「https://manabitimes.jp/math/2688」
⑨.4:「https://ja.wikipedia.org/wiki/不定積分」/*〔中学生は(逆微分)だけで十分〕*/
⑨.5:「https://ja.wikipedia.org/wiki/複素指数函数」からの引用
:実函数を用いた定義
:オイラーの公式を踏まえて、次の式で定義できる
:実数 x を「exp(ix) = cos(x) + isin(x)」へ対応させる関数を純虚指数函数といい、
:右辺の省略形を「cis(x)」と略記すると、「exp(x+iy)」＝「exp(x)*cis(y)」。
⑨.6:複素指数函数を用いると、高校で学んだ三角関数の公式を容易に導出できる。
:「新学習指導要領における数学内容系統一覧表☆」
☆:「https://www.shinko-keirin.co.jp/keirinkan/chu/math/support/data/content_line.pdf」
⑨.7:「複素指数函数」を用いた「三角関数の公式」の表示で検索すると、多数の資料。
・:「オイラーの公式と複素指数関数」
:「https://manabitimes.jp/math/585」
・:オイラーの公式｜三角関数・複素指数関数・虚数が等式として集約されるまでの物語
:「https://club.informatix.co.jp/?p=3060」
・:複素数の三角・指数・対数関数まとめ
・:「https://mimizublog.com/複素数の三角・指数・対数関数まとめ」
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【%M8】:「ブログの教材で学ぶＭＡＴＨ（８）」/*〔方程式と不等式〕*/
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⑧:参考資料
⑧.1:「https://ja.wikipedia.org/wiki/方程式」からの引用
:数学において方程式（ほうていしき、英: equation）とは、
:まだわかっていない数（未知数）を表す文字を含む等式である。
:等式を成り立たせる未知数の値を方程式の解（英: solution）といい、
:解を求めることを方程式を解く（英: solve）という。
:多くは連立方程式を用いられる。
:方程式には様々な種類があり、数学のすべての分野において目にする。
:方程式を調べるために使われる方法は方程式の種類に応じて異なる。
・:未知数（あるいは変数）を含む不等式は方程式と類似の概念をもたらす。
:すなわち、変数への値の代入が行われたとき、
⑧.2:「https://ja.wikipedia.org/wiki/不等式」からの引用
:未知数（あるいは変数）を含む不等式は方程式と類似の概念をもたらす。
:すなわち、変数への値の代入が行われたとき、正しい評価を与える値のことを
:不等式の解と呼び、
不等式の解となる値を全て求めることを不等式を解くという。
⑧.3:通常、不等式という言葉は、このように未知の数を含む、
:方程式との類似物の意味で用いられることが多い。
・:正しい評価を与える値のことを不等式の解と呼び、
:不等式の解となる値を全て求めることを不等式を解くという。
・:任意の値に対して不等式が成立するわけではないことを強調するときには
:「条件不等式」と呼ぶこともある。
・:これに対して任意の値に対して成立する不等式は
:「絶対不等式」と呼ばれる。
⑧.4:「https://ja.wikipedia.org/wiki/順序集合」からの引用
・:順序集合（じゅんじょしゅうごう、英: ordered set）とは、
:大小関係や血縁関係のような順序が定義された集合のことである。
:順序は一般に二項関係として定義されるが、
・:その順序集合の任意の2つの元に対して必ず定まるとは限らない。
⑧.5:比較不能の場合を許容する順序集合として典型的なのは後述する
:「半順序集合」（partially ordered set; poset）である。
・:特に、半順序集合で全ての2元が比較可能であるものを
:「全順序集合」（totally ordered set; toset）という。
・:全順序の最も簡単な例は、実数における大小関係である。
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【%M7】:「ブログの教材で学ぶＭＡＴＨ（７）」/*〔二次方程式〕*/
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⑦:参考資料
⑦.1:「https://ja.wikipedia.org/wiki/二次方程式」での解説項目
:平方完成
:二次方程式の解
:解の公式
:特別な二次方程式の解
:「1」の虚立方根
:虚数の導入
:判別式と実数解の個数
:根と係数の関係
:係数の拡張
⑦.2:「https://ja.wikipedia.org/wiki/不等式」からの引用
・:未知数（あるいは変数）を含む不等式は方程式と類似の概念をもたらす。
:すなわち、変数への値の代入が行われたとき、
・:正しい評価を与える値のことを不等式の解と呼び、
:不等式の解となる値を全て求めることを不等式を解くという。
・:任意の値に対して不等式が成立するわけではないことを強調するときには
:「条件不等式」と呼ぶこともある。
・:これに対して任意の値に対して成立する不等式は
:「絶対不等式」と呼ばれる。
⑦.3:「https://ja.wikipedia.org/wiki/順序集合」からの引用
・:順序集合（じゅんじょしゅうごう、英: ordered set）とは、
:大小関係や血縁関係のような順序が定義された集合のことである。
:順序は一般に二項関係として定義されるが、
・:その順序集合の任意の2つの元に対して必ず定まるとは限らない。
:比較不能の場合を許容する順序集合として典型的なのは後述する
:「半順序集合」（partially ordered set; poset）である。
・:特に、半順序集合で全ての2元が比較可能であるものを
:「全順序集合」（totally ordered set; toset）という。
:全順序の最も簡単な例は、実数における大小関係である。
⑦.3:「三角関数☆」
☆:「https://ja.wikipedia.org/wiki/三角関数」
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【%M6】:「ブログの教材で学ぶＭＡＴＨ（６）」/*〔順列と組み合わせ〕*/
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⑥:参考資料
⑥.1:「https://ja.wikipedia.org/wiki/順列」
⑥.2:「https://ja.wikipedia.org/wiki/組合せ (数学)」
⑥.3:「https://ja.wikipedia.org/wiki/組合せ数学」
⑥.4:「順列・組合せの数学教育史☆」
☆:「https://www.jstage.jst.go.jp/article/jshsme/20/0/20_27/_pdf/-char/ja」
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`▲「小学６年で学ぶ算数に不適？」
【%M5】:「ブログの教材で学ぶＭＡＴＨ（５）」/*〔正多面体〕*/
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⑤:参考資料/*〔「展開図☆」を描くと空間図形に親しみを感じます。〕*/
☆:「https://ja.wikipedia.org/wiki/展開図」
⑤.1:「https://ja.wikipedia.org/wiki/正四面体」
⑤.2:「https://ja.wikipedia.org/wiki/正六面体」
⑤.3:「https://ja.wikipedia.org/wiki/正多面体」
⑤.4:「ユークリッド空間☆」
☆:「https://ja.wikipedia.org/wiki/ユークリッド空間」
:現代数学では、デカルト座標と解析幾何学の考え方にしたがって
:ユークリッド空間を定義するほうが普通である。
⑤.5:「直交座標系☆」
☆:「https://ja.wikipedia.org/wiki/直交座標系」
:1637年に発表された『方法序説』[1]において平面上の座標の概念を確立した
:ルネ・デカルトの名を採って
:デカルト座標系 (Cartesian coordinate system) とも呼ぶ。
⑤.5:「https://ja.wikipedia.org/wiki/正十二面体」/*〔灰色〕*/
⑤.6:「https://ja.wikipedia.org/wiki/正二十面体」/*〔灰色〕*/
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【%M4】:「ブログの教材で学ぶＭＡＴＨ（４）」/*〔分数の四則演算〕*/
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②:参考資料
②.1:「https://ja.wikipedia.org/wiki/分数」
②.2:「https://ja.wikipedia.org/wiki/集合の代数学」
:集合の代数学（しゅうごうのだいすうがく、英: algebra of sets）は、
:集合の集まりを結び・交わり・補演算といった
:集合演算、集合の相等関係・包含関係のような
:二項関係などを持つ体系として捉えたものである。
②.3:「https://ja.wikipedia.org/wiki/二項関係」
:数学において、二項関係（にこうかんけい、英: binary relation）
:あるいは二変数関係 (dyadic relation, 2-place relation) は、
:集合 A の元からなる順序対のあつまりである。
②.4:算術について、演算と関係の基本性質を扱うのは「初等代数学☆」である。
☆:「https://ja.wikipedia.org/wiki/初等代数学」
:例えば、加法と乗法は、結合法則、交換法則、分配法則に従う。
:また、「?以下」といった関係は反射律、反対称律、推移律といった法則に従う。
:これらの規則は数や数の操作や関係の基本的性質を表しているだけでなく、
:計算を容易にするツールとしても働く。
②.5:「二項関係」には「計算」の他に「不等号☆」もあります。
☆:「＜」「＞」「≦」「≦」「≠」等。
②.6:「循環小数☆」
☆:「https://ja.wikipedia.org/wiki/循環小数」
②.7:循環節が「12」である分数は次のようにして求められる。
:「x=0.12121212…」と置くと、
:「100*x-x=12」だから、「99x=12」で「ｘ=12/99=4/33」
・:筆算でも「4/33=0.12121212,…」を容易に確認できます。
②.8:分子が「0」である分数を除けば、分数の四則演算が容易になる。
:「m/n」(m*n≠0)の加法の逆元は「-(m/n)」、乗法の逆元は「n/m」。
・:「通分」の例:「2/3+3/4」＝「2*4/3*4+3*3/3*4」＝「(8+9)/12」
・:「約分」の例:「15/12」＝「5*3/4*3」＝「5/4」
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【%M3】:「ブログの教材で学ぶＭＡＴＨ（３）」/*〔簡易乗算法〕*/
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③:乗数が１桁の乗算の筆算
③.1:「小学校で学ぶ 掛け算の筆算☆」
☆:「https://sugaku.fun/longhand-of-multiplication/」
③.2:「345*6」 :「456*7」
: 345 345: 456 456
:* 6 6)2070: * 7 7)3192
:---- 18 : ----- 28
:1830 --- : 2842 ---
: 24 27 : 35 39
:---- 24 : ----- 35
:2070 -- : 3192 ---
: 30: 42
: 30: 42
: --: --
: 0: 0:
③.3:「被乗数」の「0」「1」の桁は「２桁の整数☆」で表現するのが【要点】
☆:「十の位」の値は「0」。/*〔「2*3」等の場合にも注意！〕*/
③.4:「③.1」は一般的な解説だと思いますが、「③.3」の
:【要点】に言及した資料は見当たらなかったように思います。
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【%M2】:
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②:「120\で学ぶＭＡＴＨ」の利用者を下記要領で募集する。
②.1:応募した「利用者」を「ＡＴ」(Associate Tuter)と略称し、
:「ＡＴ」宛の連絡帳(非公開)を作成。
②.2:「ＡＴ」でなくても公開済み資料を無断で引用できますが、
:「著作権」は放棄しません。
②.4:「背理法☆」とは？
☆:「https://ja.wikipedia.org/wiki/背理法」
②.5:「5」は偶数でないことの証明
:「5」個の「みかん」の山からをみかんを「2」個ずつ取り除いていくと、
:最後に「1」個残るから「5」は偶数ではない。/*〔「5/2≠0」〕*/
②.6:「教材」では四則演算子に_{「+」,「-」,「*」,「/」}_を使用。
②.7:「命題論理★」で使う記号。/*〔難しいので無視してください〕*/
★:「https://ja.wikipedia.org/wiki/命題論理」
②.8:「https://ja.wikipedia.org/wiki/真理値表」で説明している記号は、
:「￢ P」/*〔「P」でない〕*/
:「P∧Q」/*〔「P かつ Q」〕*/
:「P∨Q」/*〔「P または Q」〕*/
:「P⇒Q」/*〔「P ならば Q」〕*/
②.9:命題「P」が真であることを「P＝T」、偽であることを「P＝F」で表し、
:「￢ P」「P∧Q」「P∨Q」「P⇒Q」の真理値表を示すと
:P Q |「￢ P」|「P∧Q」|「P∨Q」|「P⇒Q」|
:T T | F | T | T | T |
:F T | T | F | T | T |
:F F | T | F | F | T | /*〔位置ずれは修正困難〕*/
:ほとんど初心者は「P⇒Q」の真理値表を見て戸惑いますが、
:「②.8」の原文通りで、間違いではありません。
:原文の「P→Q」の「→」は数式で多用するので「⇒」に変更しています。
:難解さの遠因は「F⇒T」の解釈だと思われるので、
:質問があれば、一緒に考えましょう。
・:「背理法」では、「P⇒Q」が偽であれば「P」を真と考えて証明する。
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`▲/*〔小学生を教える家族用のメモだと思ってください〕*/
【%M1】:「ブログの教材で学ぶＭＡＴＨ（１）」/*〔自然数の加減算〕*/
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①:自然数の加減算に関する補足。/*〔【.%N49】との置換〕*/
①.1:「減加法☆」と「減減法★」/*〔学校では「☆」を推奨？〕*/
☆:「42-38＝(10+30+)2-(30-8)＝(10-8)+(30-30)＝2+2＝4」
:「120\」の教材では、
:「(10-8)＝2」の「2」(減加の「減」)と
:「(10+30+)2」の「2」の和(減加の「加」)
★:「0\」の教材(背景色なし)では、
:「42-38＝(10+30+)2-(30-8)＝(10-8)+(30-30)＝2+2＝4」のみ。
①.2:「□□□」がどのような10進数であっても「９９９≧□□□」だから、
:「〇〇〇ー□□□＝１０００ー□□□＝「９９９ー□□□」＋１」
:「９９９ー□□□」を「９の補数」という。/*〔進学塾用〕*/
①.3:小学校での計算を次のように推定。/*〔下位から計算！〕*/
☆:「548-367＝(500+40+8)+(-300-60-7)
: ＝(500-300)+(40-60-(8-7)」
: ＝(200)+(-20)+1
: ＝100+(100-20)+1
: ＝100+80+1
: ＝181
①.4:「①.4」と同様に「減減法」による「42-38」の計算法を示すと、
:「42-38＝(10+32)-38＝10+32-32-(8-2)＝(10-6)+(32-32)+2＝4」
:「8-2＝6」が「減減」の「減」、「10-6＝4」が「減減」の「減」
:「6＝max{8-2, 2-8}」が「減減法」の【要点！】
！:これによって「(32-32)」が使えるようになる。
・:「減減法の説明」で検索すると多くの資料が見つかるが、
:「①.4」の【要点！】で呈示した「6＝max{8-2, 2-8}」は不在。
⑳更新履歴
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